wojtek, October 31, 2020 17:30 Skomentuj komentarz

---

Pierwsze zasady

W logice starożytnej i średniowiecznej sformułowano tzw. pierwsze zasady, które uznano za najbardziej oczywiste ze wszystkich możliwych twierdzeń; niezależne od innych oraz stanowiące ostateczne uzasadnienie wszystkich praw logiki. Składały się na nie: zasada tożsamości, zasada niesprzeczności, prawo wyłączonego środka i prawo podwójnego przeczenia.[1]

Zasada tożsamości (principium identitatis) jest oznaczana wzorem: p ⇔ p (p wtedy i tylko wtedy, gdy p), co oznacza, że każdy byt jest tym, czym jest; ponieważ nie może być czymś innym. Przykładowo: człowiek jest człowiekiem wtedy i tylko wtedy, gdy jest człowiekiem, ponieważ nie może być nie-człowiekiem.

Problem pojawi się jednak wówczas, gdy zasadę tożsamości będziemy rozpatrywać w odniesieniu do nazw pustych. Np. zdanie: "Hobbit wtedy i tylko wtedy jest hobbitem, gdy jest hobbitem" jest fałszywe, ponieważ hobbity nie istnieją.[2] Natomiast zdanie: "Jeśli istnieje choć jeden hobbit, to ten hobbit jest hobbitem i nie jest nie-hobbitem" jest prawdziwe.

Zasadę tożsamości p ⇔ p można rozwinąć do wzoru (p ⇔ p) ⇔ [(p → p) ∧ (p → p)]. Można stosować ją na innych symbolach i zwana jest też zasadą zwrotności. Na przykład:

dla alternatywy: p ∨ p ⇔ pdla koniunkcji: p ∧ p ⇔ pdla implikacji: p → p, gdy mówimy "Gdy świeci słońce, to świeci słońce". Tym sposobem z jakiegokolwiek zdania wynika to samo zdanie, co jest tautologią, gdyż zawsze będzie prawdziwe.

Zasada niesprzeczności (principium non contradictionis)[3] ujmowana jest wzorem ¬ (p ∧ ¬ p). Mówi ono, iż zaprzeczenie koniunkcji zdania z jego negacją jest prawdziwe, ponieważ koniunkcja: p ∧ ¬ p jest zdaniem sprzecznym. Zgodnie z nią dana rzecz nie może zarazem istnieć i nie istnieć, a dany przedmiot nie może mieć daną cechę i zarazem jej nie mieć. Inaczej mówiąc, z dwóch zdań sprzecznych nie mogą być oba prawdziwe. Arystotelesowi przypisuje się zdanie wyrażające omawianą zasadę: "niepodobna, ażeby coś zarazem było i nie było".

Można to wyjaśnić na następującym przykładzie. Gdy funkcję (p ∧ ¬ p) wypełnimy treścią: "Człowiek (zarazem) istnieje i nie istnieje" to w klasycznym rachunku zdań takie zdanie będzie fałszywe. Jednak jeśli zaprzeczymy je budując funkcję ¬ (p ∧ ¬ p), to zdanie będzie brzmiało: "Nieprawda, że człowiek (zarazem) istnieje i nie istnieje" i będzie prawdziwe.

Duns Szkot

W średniowieczu rozwinął je Duns Szkot doprowadzając do wzoru: (p ∧ ¬ p) ⇒ q, które można przedstawić słownie: jeśli p i nie-p, to q, a na przykładzie: jeśli pies i nie-pies, to kot. Prawo Dunsa Szkota mówi więc, że ze zdania sprzecznego można wyprowadzić dowolne inne zdanie.

Natomiast Jan Łukasiewicz rozbudował tą zasadę o trzy kolejne:

ontologiczną zasadę sprzeczności - mówiącą, iż żadnemu przedmiotowi nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwać ta sama cecha.logiczną zasadę sprzeczności - twierdzącą, że dwa sądy, z których jeden przyznaje danemu przedmiotowi daną cechę, a drugi nie przyznaje temu przedmiotowi tej cechy, nie mogą być zarazem prawdziwe.psychologiczną zasadę sprzeczności - głoszącą, że dwa przekonania, którym odpowiadają dwa sądy sprzeczne, nie mogą istnieć w tym samym czasie w jednym umyśle.

O ile ostatnia z wymienionych zasad może - biorąc pod uwagę dorobek psychologii - budzić wątpliwości; o tyle dwie pozostałe są powszechnie przyjmowane.

Prawo wyłączonego środka (principium tertio exclusi) natomiast zapisywane jest wzorem: p ∨ ¬ p. Mówi ono, iż dla dowolnego zdania "p" albo prawdziwe jest ono samo, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie "nie-p". Inaczej mówiąc dla dowolnego zdania "p" prawdą jest, że p lub nie p. Zaś w innym ujęciu mówi się, że dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą być oba fałszywe. Przykładem będzie wyrażenie: "kot lub nie-kot", które jest prawdziwe.

Z zasady niesprzeczności i prawa wyłączonego środka wyprowadza się twierdzenie, iż z dwóch zdań względem siebie sprzecznych jedno jest prawdziwe a jedno fałszywe.

Prawo podwójnego przeczenia występuje we wzorze: ¬ ¬ p → p lub odwrotnie ujmując p → ¬ ¬ p; czyli nie-nie-p to p albo p to nie-nie-p.

Pytania testowe: Wymień jedno z praw logiki zaliczanych do pierwszych zasad ...

Przypisy↑ Por. interesujące rozważania T. Kotarbińskiego na temat pierwszych zasad [T. Kotarbiński, 1961].↑ Chociaż można mieć pewne wątpliwości. Po pierwsze: to, że do tej pory nie odkryto hobbitów wcale nie świadczy o ich nieistnieniu; ew. odwrotnie: to, że do tej pory nie odkryto hobbitów świadczy o tym, że teoria o ich nieistnieniu póki co jest prawdziwa. Po drugie: nie wiemy, czy gdzieś we wszechświecie istnieją hobbity, bo przecież teoretycznie mogą istnieć. Po trzecie: nie wiemy, czy istnieje jakiś człowiek, który określa się mianem hobbita, czuje się nim, mieszka w domku porośniętym trawą i wychodzi co rano przez okrągłe drzwi. Po czwarte: może istnieje na Ziemi człowiek, który na nazwisko albo imię ma "Hobbit" albo jest tak przez znajomych nazywany, bo ma taką ksywkę (tylko w tym wypadku pojawia się problem: co rozumiemy pod pojęciem "hobbita" - raczej stworzenia wymyślone przez Tolkiena, które nie istnieją w rzeczywistości, więc są nazwami pustymi). Po piąte: może ktoś odkrył hobbity, tylko ukrył tą wiadomość przed światem nauki albo świat nauki nie chce mu uwierzyć itp., itd., etc...↑ zwana też zasadą sprzeczności